In occasione della ventesima edizione del Festival della scienza 2019, gli studenti delle classi quinte hanno avuto l’occasione di incontrare il ricercatore Giovanni Capobianco, Delegato del Rettore per l’Orientamento, Università degli studi del Molise. Argomento principale dell’incontro: paradossi nei calcoli e utilizzo della matematica in informatica.

Quando pensiamo ad alcune delle grandi menti matematiche, probabilmente ci vorrà un po’ di tempo per raggiungere il nome Homer Simpson. Tuttavia Homer, apparentemente, smentisce uno dei teoremi matematici più elusivi negli ultimi quattro secoli: l'ultimo teorema di Fermat, un'estensione del teorema di Pitagora, il quale afferma che non c'è soluzione all'equazione dove a, b e c sono numeri interi e n>2.

a alla n + b alla n = c alla n 

Nel 1670, Pierre de Fermat affermò di aver trovato una dimostrazione di questo teorema, ma secondo Fermat, la prova era troppo lunga per adattarsi ai margini. Da questa prima affermazione, le menti più geniali hanno provato e fallito nel dimostrare questo teorema. Non tutti sono consapevoli del fatto che molti degli scrittori che si sono interessati dei Simpson hanno gradi avanzati in matematica, fisica e informatica, come David S. Cohen e Al Jean, entrambi frequentatori di Harvard. Ciò si traduce in molte battute matematiche che vengono inserite sottilmente in vari episodi dei Simpson. In particolare, in una delle prime puntate, Homer Simpson, durante il suo passaggio dal mondo bidimensionale dei cartoni allo spazio cartesiano diviso in tre dimensioni, si notano delle formule estremamente complesse come per esempio:

1782^12 + 1841^12 = 1922^12

Se questa equazione non fosse vera, il Teorema di Fermat verrebbe rettificato. Tuttavia, l’equazione torna. Com’è possibile? L’errore sta nella nostra calcolatrice che utilizza di solito dieci cifre. Se infatti adottassimo una calcolatrice con un display costituito da cifre maggiori di dieci, ci renderemmo subito conto che l’equazione scritta sopra non sarebbe più corretta dato che è l’arrotondamento a farla apparire corretta. Nell'analisi numerica, la cancellazione numerica è la conseguenza più grave della rappresentazione con precisione finita dei numeri reali all'interno di un calcolatore. Questo fenomeno consiste nella perdita di cifre significative, dovuta ad una operazione di sottrazione tra due numeri "quasi uguali", cioè due numeri che hanno le prime t cifre uguali con t>0 e con t appartenente a N. Le cause di tale problema dipendono dagli errori già presenti nei due operandi e da quelli introdotti dal processo di approssimazione effettuato dal calcolatore per poter memorizzare i numeri in memoria. Se questo inconveniente non viene considerato, si possono avere conseguenze disastrose, come nel caso del fallimento dei missili “patriot” durante la guerra del Golfo.

Il 25 febbraio 1991 una batteria di missili Patriot americani a Dharan, in Arabia Saudita, non riuscì a localizzare e intercettare un missile iracheno Scud in arrivo. Lo Scud ha colpito una caserma dell'esercito americano, uccidendo 28 soldati e ferendo circa 100 altre persone. In una relazione dell'Ufficio di contabilità generale, risulta che la causa fosse un calcolo impreciso del computer. Nello specifico, il tempo in decimi di secondo misurato dall'orologio interno del sistema è stato moltiplicato per 1/10 per produrre il tempo in secondi. In particolare, il valore 1/10, che ha un'espansione binaria non terminante, è stato tagliato a 24 bit. Il piccolo errore di taglio, quando moltiplicato per il numero grande che indicava il tempo in decimi di secondo, portava a un errore significativo. La batteria Patriot era aumentata di circa 100 ore e un semplice calcolo mostra che l'errore di tempo risultante era di circa 0,34 secondi. 

Uno Scud che viaggia a 1676 metri al secondo percorre in 0,34 secondi uno spazio di circa mezzo chilometro in avanti nella sua direzione, e questo spazio percorso fu sufficiente per uscire fuori dalla zona individuata dal Patriot. Presentato il progetto sul paradosso dei calcoli, Giovanni Capobianco spiega come la matematica può essere utilizzata nell’informatica e nei diversi programmi, come, ad esempio, Photoshop, introducendo la “FFT” ossia la “Trasformata di Fourier veloce”. L'analisi di Fourier di una funzione periodica si riferisce all'estrazione della serie di seni e coseni che, una volta sovrapposti, riprodurranno la funzione. Questa analisi può essere espressa come una serie di Fourier . La FFT è un metodo matematico per trasformare una funzione del tempo in una funzione di frequenza. A volte è descritto come una trasformazione dal dominio del tempo al dominio della frequenza. È molto utile per l'analisi dei fenomeni dipendenti dal tempo e la sua equazione è:              

 

La soluzione del sistema di equazioni richiede l’inversione di una matrice, che implica in generale un numero di operazioni proporzionale al quadrato del numero di equazioni il quale definisce a sua volta la risoluzione in frequenza 1/Δx della trasformata.

di Martina Ferrin